Question

如圖，以直角三角形的兩條直角邊AC、AB為直徑，向三角形內作半圓，兩半圓交于點D，CD=1，BD=3，則圖中陰影部分的面積為

 

（平方單位）．

Answer 1

分析：連接AD，則AD⊥BC，則△ACD∽△BCA；根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出AC=2，因而∠B=30度，根據扇形的面積公式就可以求出兩個半圓的公共部分的面積．用以AC為直徑的半圓的面積，減去公共部分的面積就得到陰影部分的面積．

解答：解：如圖，設N是以AC為直徑的半圓的圓心，連接ND，M為以AB為直徑的半圓的圓心，連接MD，連接AD．
則AD⊥BC，根據射影定理有：
AC²=CD•CB=CD（CD+BD）=4，即AC=2；
同理可求得AB=2

3

；
因此∠ABD=30°，∠ACD=60°；
∴∠AMD=60°，∠AND=120°．
∴扇形MAD中，弓形AD的面積=S_扇形MAD-S_△MAD=

60×π×( 3 )2

360

-

3 3

4

=

π

2

-

3 3

4

；
同理可求得扇形AND中，S_弓形AD=

π

3

-

3

4

；
因此S_陰影=

π

2

-（

π

2

-

3 3

4

+

π

3

-

3

4

）=

3

-

π

3

（平方單位）．

點評：不規則的圖形的面積一般要轉化為一些規則圖形的面積的和或差來求解．