Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是直徑，OD⊥BC于點D，延長DO交⊙O于F，連接OC，AF．
（1）求證：△COD≌△BOD；
（2）填空：①當∠1=時，四邊形OCAF是菱形； ②當∠1=時，AB=2 OD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵AF=OC=OF=AO，

∴△AOF為等邊三角形，

∴∠3=60°，且∠3=∠DOB=60°，

又∵OD⊥BC，

∴D是BC的中點，∠1=30°；

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠2=60°，

∴△AOC是等邊三角形，

∵△AOF是等邊三角形，

∴AF=OC=OF=AO，

在△AOC和△OAF中， ，

∴△AOC≌△AOF（SAS）；

（2）30°；45°
【解析】（2）解：
當∠1=30°時，四邊形OCAF是菱形．
理由如下：
∵∠1=30°，AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=60°，而OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴OA=OC=CA，
又∵D，O分別是BC，BA的中點，
∴DO∥CA，
∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．
∴△OAF是等邊三角形，
∴AF=OA=OF，
∴OC=CA=AF=OF，
∴四邊形OCAF是菱形；
②當∠1=45°時，AB=2 OD，
∵∠1=45°，
∵OD⊥BC于點D，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴OB= OD，
∴AB=2OB=2 OD．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的判定方法和垂徑定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．