Question

【題目】已知等腰直角△ABC，∠C＝90°，點D是斜邊AB的中點，E是AC上的動點、∠EDF＝90°，DF交BC 于點F．

（1）當 DE⊥AC，DF⊥BC 時，（如圖1），我們很容易得出：S△DEF+S△CEF=S△ABC.

（2）如圖2，DE與 AC不垂直，且點E在線段AC上時，（1）中的結論是否成立，如果不成立，請說明理由；如果成立，請證明．

（3）當點E運動到AC延長線上，其他條件不變，請把圖3補充完整，直接寫出 S△DEF，S△CEF，S△ABC的關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；證明見解析；（3）S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．

【解析】

（1）根據三角形的中位線和正方形的性質即可得到結論；

(2)如圖 2，過 D作 DM⊥AC于 M，DN⊥BC于 N，根據三角形的中位線大小在得到 DM＝DN，推出四邊形 CNDM是正方形，得到 S正方形 DMCN＝S△ABC， 根據余角的性質得到∠EDM＝∠FDN，根據全等三角形的性質得到△EDM≌△FDN，于是得到結論；

(2)如圖 3，過 D作 DM⊥AC于 M，DN⊥BC于 N，根據三角形的中位線大小在得到DM＝DN，推出四邊形 CNDM是正方形，得到 S正方形 DMCN＝S△ABC，根據余角的性質得到∠EDM＝∠FDN，根據全等三角形的性質得到△EDM≌△FDN，于是得到結論．

（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE∥BC，DF∥AC，

∵點D是斜邊AB的中點，AC＝BC，

∴DE＝DF＝AC，

∴EF＝AB，

∴S△DEF+S△CEF＝S四邊形 DECF＝S△ABC；

（2）結論仍然成立，

證明：如圖2，過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，

∴∠AMC＝∠DNC＝∠C＝90°，

∴DM∥BC，DN∥AC，

∵點D是斜邊AB的中點，

∴DM＝BC，DN＝AC，

∴DM＝DN，

∴四邊形CNDM是正方形，

∴S正方形DMCN＝S△ABC，

∵∠EDF＝90°，

∴∠EDM＝∠FDN，

在△EDM與△FDN中，

∴△EDM≌△FDN，（ASA），

∴S四邊形CFDE＝S正方形DMCN＝S△DEF+S△CEF＝S△ABC；

（3）如圖3，

過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，

∴∠AMC＝∠DNC＝∠C＝90°，

∴DM∥BC，DN∥AC，

∵點D是斜邊AB的中點，

∴DM＝BC，DN＝AC，

∴DM＝DN，

∴四邊形CNDM是正方形，

∴S正方形DMCN＝S△ABC，

∵∠EDF＝90°，

∴∠EDM＝∠FDN，

在△EDM與△FDN中， ，

∴△EDM≌△FDN，（ASA），

∴S四邊形CFDE＝S正方形DMCN＝S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．