Question

【題目】我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．

例如：某三角形三邊長分別是2，4，，因為，所以這個三角形是奇異三角形．

（1）根據定義：“等邊三角形是奇異三角形”這個命題是______命題（填“真”或“假命題”）；

（2）在中，，，，，且，若是奇異三角形，求；

（3）如圖，以為斜邊分別在的兩側作直角三角形，且，若四邊形內存在點，使得，．

①求證：是奇異三角形；

②當是直角三角形時，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）真；（2）；（3）①證明見解析；②或．

【解析】

（1）設等邊三角形的邊長為a，則a2+a2=2a2，即可得出結論；
（2）由勾股定理得出a2+b2=c2①，由Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，得出a2+c2=2b2②，由①②得出b=a，c=a，即可得出結論；
（3）①由勾股定理得出AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，由已知得出2AD2=AB2，AC2+CE2=2AE2，即可得出△ACE是奇異三角形；
②由△ACE是奇異三角形，得出AC2+CE2=2AE2，分兩種情況，由直角三角形和奇異三角形的性質即可得出答案．

（1）解：“等邊三角形是奇異三角形”這個命題是真命題，理由如下：

設等邊三角形的一邊為，則，

∴符合奇異三角形”的定義．

（2）解：∵，則①，

∵是奇異三角形，且，

∴②，

由①②得：，，

∴．

（3）①證明：∵，

∴，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴是奇異三角形．

②由①可得是奇異三角形，

∴，

當是直角三角形時，

由（2）得：或，

當時，，

即，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴．

當時，，

即，

∵，

∴°，

∵，，

∴，

∴，

∴或．