Question

閱讀探索：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）

（1）當已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：

設所求矩形的兩邊分別是，由題意得方程組：，

消去y化簡得：，

∵△＝49－48>0，∴x₁=                ，x₂=                ．

∴滿足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？

 

Answer 1

【答案】

（1）2和（2）不存在（3）（m + n）²－8 mn≥0時，滿足要求的矩形B存在

【解析】解：（1）2和；

（2），消去y化簡得：2 x²－3x＋2＝０，Δ＝9-16<０，所以不存在矩形B．

　（3）（m + n）² －8 mn≥0，

設所求矩形的兩邊分別是，由題意得方程組：

，消去y化簡得：2 x²－（m + n）x + mn = 0，

Δ＝（m + n）² －8 mn≥0．

即（m + n）²－8 mn≥0時，滿足要求的矩形B存在

（1）先用Δ判斷方程是否有根，再用十字相乘法解一元二次方程即可

       （2）方法跟（1）一樣，由于Δ<０，故一元二次方程無解即可

       （3）若矩形B存在，方程組有解，則化解的一元二次方程要有解，故Δ≥0，即可得到關于m和n所要滿足的條件

	A