Question

閱讀探索：“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）
（1）當已知矩形A的邊長分別為6和1時，小亮同學是這樣研究的：
設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：

x+y= 7 2 xy=3

，消去y化簡得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=

 

，x₂=

 

，
∴滿足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？

Answer 1

分析：（1）直接利用求根公式計算即可；
（2）參照（1）中的解法解題即可；
（3）解法同上，利用根的判別式列不等關系可求m，n滿足的條件．

解答：解：（1）由上可知
（x-2）（2x-3）=0
∴x₁=2，x₂=

3

2

；

（2）設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得

x+y= 3 2 xy=1

消去y化簡，得
2x²-3x+2=0
∵△=9-16＜0
∴不存在矩形B；

（3）（m+n）²-8mn≥0．
設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得

x+y= m+n 2 xy= mn 2

消去y化簡，得
2x²-（m+n）x+mn=0
△=（m+n）²-8mn≥0
即（m+n）²-8mn≥0時，滿足要求的矩形B存在．

點評：此類題目要讀懂題意，準確的找到等量關系列方程組，要會靈活運用根的判別式在不解方程的情況下判斷一元二次方程的解的情況．