Question

【題目】觀察、猜想、探究：

在△ABC中，．

（1）如圖①，當，AD為∠BAC的角平分線時，求證：；

（2）如圖②，當，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的

數量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明；

（3）如圖③，當AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？不需要證明，請直接寫出你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2 ) ，理由見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）過D作DE⊥AB，交AB于點E，理由角平分線性質得到DE=DC，利用HL得到Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的對應邊相等，對應角相等，得到AC=AE，∠ACB=∠AED，由∠ACB=2∠B，利用等量代換及外角性質得到一對角相等，利用等角對等邊得到BE=DE=DC，由AB=BE+AE，等量代換即可得證；
（2）AB=CD+AC，理由為：在AB上截取AG=AC，如圖2所示，由角平分線定義得到一對角相等，再由，利用SAS得到△ADG≌△ADC，接下來同（1）即可得證；
（3）AB=CDAC，理由為：在AF上截取AG=AC，如圖3所示，同（2）即可得證．

試題解析：(1)過D作DE⊥AB，交AB于點E，如圖1所示，

∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE=DC，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD，DE=DC，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，

∴AC=AE，∠ACB=∠AED，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

又∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴BE=DE=DC，

則AB=BE+AE=CD+AC；

(2)AB=CD+AC，理由為：

在AB上截取AG=AC，如圖2所示，

∵AD為∠BAC的平分線，

∴∠GAD=∠CAD，

∵在△ADG和△ADC中，

∴△ADG≌△ADC(SAS)，

∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AGD=2∠B，

又∵∠AGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，

∴BE=DG=DC，

則AB=BG+AG=CD+AC；

(3)AB=CDAC，理由為：

在AF上截取AG=AC，如圖3所示，

∵AD為∠FAC的平分線，

∴∠GAD=∠CAD，

∵在△ADG和△ACD中，

∴△ADG≌△ACD(SAS)，

∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠FGD=2∠B，

又∵∠FGD=∠B+∠GDB，

∴∠B=∠GDB，

∴BG=DG=DC，

則AB=BGAG=CDAC.