Question

【題目】已知，平行四邊形中，連接，，過點作，垂足為，延長與相交于點．

（1）如圖1，若，，求線段的長；

（2）如圖2，若，過點作于點，連接、．求證：．

Answer 1

【答案】（1）AD＝；（2）見解析

【解析】

（1）根據垂直的定義得到∠AEB＝∠BEC＝90°，根據勾股定理得到BE＝，BC＝，根據平行四邊形的性質即可得到結果；
（2）推出△AEB是等腰直角三角形，得到∠ABE＝45°，設∠CBE＝x，根據等腰三角形的性質得到∠ABC＝∠ACB＝45°＋x，求得∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，推出A、B、C、F四點共圓，A、E、F、G四點共圓，得到∠CAF＝∠CBE＝22.5°，∠EGF＝∠EAF＝22.5°，求得∠AGE＝67.5°，推出AE＝GE，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

（1）解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵AE＝2，CE＝1，
∴AC＝AB＝3，
∴BE＝=，
∴BC＝=，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝；
（2）證明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，AE＝BE，
∵AB∥CD，
∴∠ACF＝45°，∠ABC＋∠DCB＝180°，
設∠CBE＝x，
∴∠ABC＝45°＋x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°＋x，
∵∠EBC＋∠ECB＝90°，
∴x＋45°＋x＝90°，
∴x＝22.5°，
∴∠EBC＝22.5°，∠ACB＝67.5°，
∵∠ABF＝∠ACF＝45°，
∴A、B、C、F四點共圓，
∴∠CAF＝∠EBC＝22.5°，
∵FG⊥AD，
∴∠AGF＝∠AEF＝90°，
∴A、E、F、G四點共圓，
∴∠EGF＝∠EAF＝22.5°，
∴∠AGE＝67.5°，
∵∠CAD＝∠ACB＝67.5°，
∴∠EAG＝∠AGE，
∴AE＝GE，
∵AC＝AB＝AE，
∴BE＋EC＝AE＋EC＝AC＝EG．