Question

【題目】已知二次函數y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a≠0），與x軸交與A（x1，0）B（x2，0）兩點，與y軸交與C點．

（1）求出該函數的圖象經過的定點的坐標．

（2）若A為（1）中所求的某一定點，且x1、x2，之間的整數恰有3個（不包括x1、x2），試求a的取值范圍．

（3）當a＝時，將與x軸重合的直線繞著D（﹣5，0）逆時針旋轉得到直線l：y＝kx+b，過點C、B分別作l的垂線段，距離為d1、d2，試分別求出當|d1﹣d2|最大和最小時b的值．

Answer 1

【答案】（1）定點的坐標為（1，0）或（2，﹣1）；（2）﹣＜a≤﹣或≤a＜；（3）b的值為或﹣或10或或﹣10或．

【解析】

（1）由y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+1 （a≠0），可得y＝（x2﹣3x+2）a﹣x+1，由該函數的圖象經過的定點，可得x2﹣3x+2＝0，解方程即可解決問題；

（2）分兩種情形討論求解，分別列出不等式組即可解決問題；

（3）當B（4，0）時，①如圖1中，CE⊥l于E，BF⊥l于F，連接BC交EF于K．當CE＝BF時，|d1﹣d2|的值最小，易證明△CEK≌△BFK，可得CK＝BK，推出K（2，1），求出直線DK的解析式即可解決問題；另外當直線平行BC時，|d1﹣d2|的值最小；②如圖2中，如圖2中，作 CK⊥BF于K，則四邊形CEFK是矩形，在Rt△CBK中，易知BK≤BC，推出當BC⊥DE時，|d1﹣d2|的值最大，由此求出直線DE的解析式即可解決問題；當點B坐標為（1，0）時，同法可求；

（1）∵y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+1 （a≠0），

∴y＝（x2﹣3x+2）a﹣x+1，

∵該函數的圖象經過的定點，

∴x2﹣3x+2＝0，

∴x＝1或2，

∵x＝1時，y＝0，x＝2時，y＝﹣1，

∴定點的坐標為（1，0）或（2，﹣1）．

（2）易知A（1，0），B（2+ ，0），

∵x1、x2，之間的整數恰有3個（不包括x1、x2），

∴﹣3≤2+ ＜﹣2或4＜2+ ≤5，

解得﹣＜a≤﹣或≤a＜．

（3）∵a＝，

∴C（0，2），B（1，0）或（4，0），

①當B（4，0）時，①如圖1中，CE⊥l于E，BF⊥l于F，連接BC交EF于K．

當CE＝BF時，|d1﹣d2|的值最小，易證明△CEK≌△BFK，

∴CK＝BK，

∵C（0，2），B（4，0），

∴K（2，1），

設直線l的解析式為y＝kx+b，

把D（﹣5，0），K（2，1）代入得到，

解得，

當直線與BC平行時，|d1﹣d2|的值最小，

∵直線BC的解析式為y＝﹣x+2，

此時直線的解析式為y＝﹣x﹣，

∴b＝﹣，

②如圖2中，如圖2中，作 CK⊥BF于K，則四邊形CEFK是矩形，

∵CE＝FK，

∴|d1﹣d2|＝BF﹣CE＝BK，

在Rt△CBK中，易知BK≤BC，

∴當BC⊥DE時，|d1﹣d2|的值最大，

∵直線BC的解析式為y＝﹣x+2，

∴可以假設直線DE的解析式為y＝2x+b，把D（﹣5，0）代入得到b＝10，

綜上所述，滿足條件的b的值為或﹣或10．

當B點坐標為（1，0）時，同法可求b的值為或﹣10或．