Question

【題目】如圖，∠MON=90°，點A、B分別在邊ON和OM上（∠OAB≠45°）.

（1）根據要求，利用尺規作圖，補全圖形：

第①步：作∠MON的平分線OC，作線段AB的垂直平分線l，OC和l交于點P，第②步：連接PA、PB；

（2）結合補完整的圖形，判斷PA和PB有什么數量關系和位置關系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）AP=BP，AP⊥BP，理由見詳解.

【解析】

（1）利用尺規作圖的方法，作出∠MON的平分線OC，作線段AB的垂直平分線l，OC和l交于點P，連接PA、PB；

（2）由垂直平分線定理，得到AP=BP；作PD⊥ON與D，PE⊥OM與E，由點P在OC上，則PD=PE,即可證明Rt△ADP≌Rt△BEP，則∠APD=∠BPE，由∠DPE=90°，得到∠APB=90°，然后得到AP⊥BP.

解：（1）如圖所示；

（2）AP=BP，AP⊥BP；

理由如下：

∵直線l垂直平分AB，點P在l上，

∴AP=BP；

如上圖，作PD⊥ON與D，PE⊥OM與E，

∵點P在∠MON的平分線OC上，

∴PD=PE，

∴Rt△ADP≌Rt△BEP（HL），

∴∠APD=∠BPE；

∵∠MON=90°，PD⊥ON，PE⊥OM，PD=PE，

∴四邊形OEPD是正方形；

∴∠DPE=90°，

∴∠APD+∠DPB=∠DPB+∠BPE=∠DPE=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BP.