Question

【題目】如圖1，已知平行四邊形ABCD，BC∥x軸，BC＝6，點A的坐標為（1，4），點B的坐標為（﹣3，﹣4），點C在第四象限，點P是平行四邊形ABCD邊上的一個動點．

（1）若點P在邊CD上，BC＝CP，求點P的坐標；

（2）如圖2，若點P在邊AB，AD上，點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y＝﹣x+1上，求點P的坐標；

（3）若點P在邊AB，AD，BC上，點E是AB與y軸的交點，如圖3，過點P作y軸的平行線PF，過點E作x軸的平行線E，它們相交于點F，將△PEF沿直線PE翻折，當點F的對應點落在坐標軸上時，求點P的坐標．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）P1（﹣3，﹣4），P2（5，4），P3（﹣1，0），P4（3，4）；（3）（-，﹣3）或（2，4）或（，﹣4）．

【解析】

（1）根據平行四邊形性質可求得點C、D坐標，再利用待定系數法求直線CD解析式，根據點P在邊CD上，BC＝CP，可設P（t，2t10），運用兩點間距離公式或勾股定理可建立關于t的方程，解方程即可求得P的坐標；

（2）先運用待定系數法求直線AB解析式和直線AD解析式，根據點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y＝x＋1上，分兩種情況：①如圖2，點P在邊AB，AD上，點P關于x軸對稱的點Q落在直線y＝x＋1上，②如圖3，點P在邊AB，AD上，點P關于y軸對稱的點Q落在直線y＝x＋1上，分別求得點P的坐標即可；

（3）分三種情況：①若點P在邊AB上，②若點P在邊AD上，③若點P在邊BC上，運用翻折性質、勾股定理分別求出點P的坐標．

解：（1）∵平行四邊形ABCD

∴AD＝BC＝6，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC

∵BC∥x軸，

∴AD∥x軸，

∵點A的坐標為（1，4），點B的坐標為（﹣3，﹣4），點C在第四象限，

∴C（3，﹣4），D（7，4）

設直線CD解析式為y＝kx+b，則 ，解得，

∴直線CD解析式為y＝2x﹣10，

∵點P在邊CD上，BC＝CP，設P（t，2t﹣10），

則（t﹣3）2+[2t﹣10﹣（﹣4）]2＝36，

解得：t1＝ （舍去），t2＝，

∴P（，）；

（2）∵A（1，4），B（﹣3，﹣4），D（7，4）

∴直線AB解析式為y＝2x+2，直線AD解析式為y＝4，

點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y＝﹣x+1上，分兩種情況：

①如圖2，點P在邊AB，AD上，點P關于x軸對稱的點Q落在直線y＝﹣x+1上，

當點P在AB上時，設P（m，2m+2），則Q（m，﹣m+1）

∴2m+2+（﹣m+1）＝0，

解得m＝﹣3

∴P1（﹣3，﹣4），

當點P在AD上時，設P（m，4），則Q（m，﹣m+1）

∴4﹣m+1＝0，

解得：m＝5，

∴P2（5，4）

②如圖3，點P在邊AB，AD上，點P關于y軸對稱的點Q落在直線y＝﹣x+1上，

當點P在AB上時，設P（m，2m+2），則Q（﹣2m﹣1，2m+2）

∴m﹣2m﹣1＝0，

解得：m＝﹣1，

∴P3（﹣1，0）

當點P在AD上時，設P（m，4），則Q（﹣3，4），

∴m﹣3＝0，

解得：m＝3

∴P4（3，4），

綜上所述，點P的坐標為：P1（﹣3，﹣4），P2（5，4），P3（﹣1，0），P4（3，4）；

（3）在y＝2x+2中，令x＝0，則y＝2，

∴E（0，2），

①若點P在邊AB上，如圖4設點P（m，2m+2），則F（m，2）

由翻折得：EF′＝EF＝﹣m，FF′⊥BE

設直線FF′解析式為y＝k′x+b′，則k′＝，

∴m+b′＝2，解得：b′＝m+2

∴直線FF′解析式為y＝x+m+2，

令y＝0，得x＝m+4，

∴F′（m+4，0），

在Rt△OEF′中，OE2+OF′2＝EF′2

∴22+（m+4）2＝（﹣m）2，

解得：m＝，

∴P（，﹣3），

②若點P在邊AD上，如圖5設P（m，4），則F（m，2），

由題意可知，△PEF沿直線PE翻折后，點F的對應點F′落在y軸上，

由翻折得：EF′＝EF＝m，∠PEF＝∠PEF′

∵EF⊥y軸

∴∠FEF′＝90°

∴∠PEF＝∠PEF′＝45°

∴△PEF是等腰直角三角形

∴EF＝PF，即m＝2

∴P（2，4），

③若點P在邊BC上，如圖6設PF交x軸于點G，P（m，﹣4），則F（m，2）

∴PF＝6，EF＝﹣m，PG＝4，

由翻折得：EF′＝EF＝﹣m，PF′＝PF＝6

∵PF⊥x軸

∴F′G＝，

∴F′（m+，0）

在Rt△OEF′中，OE2+OF′2＝EF′2

∴22+ ( m+)2=m2，

解得：m＝ ，

∴P（，﹣4），

綜上所述，點P的坐標為（，﹣3）或（2，4）或（，﹣4）．