Question

【題目】問題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度數. 小穎同學的解題思路是：如圖2，過點P作PE∥AB，請你接著完成解答.

問題遷移：

（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．試判斷∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？

（提示：過點P作PE∥AD），請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你猜想∠CPD、∠α、∠β之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）∠APC=110° ;（2）∠CPD=∠α+∠β , 理由見解析;（3）∠CPD=∠α-∠β 或 ∠CPD=∠β-∠α

【解析】（1）根據平行線的判定與性質填寫即可；

（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

（1）過點P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內角互補）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代換）

（2）∠CPD=∠α+∠β，

理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）當P在BA延長線時，

過P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β-∠α；

當P在AB延長線時，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α-∠β．