Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知兩點A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），點C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點P在線段OB上，OP=OA，AP的延長線與CB的延長線交于點M，AB與CP交于點N．

（1）點C的坐標為： （用含m，n的式子表示）；

（2）求證：BM=BN；

（3）設點C關于直線AB的對稱點為D，點C關于直線AP的對稱點為G，求證：D，G關于x軸對稱．

Answer 1

【答案】（1）（n，m+n）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）過C點作CE⊥y軸于點E，根據AAS證明△AOB≌△BEC，根據全等三角形的性質即可得到點C的坐標；

（2）根據全等三角形的性質的性質和等量代換可得∠1=∠2，根據ASA證明△ABM≌△CBN，根據全等三角形的性質即可得到BM=BN；

（3）根據SAS證明△DAH≌△GAH，根據全等三角形的性質即可求解．

（1）解：過C點作CE⊥y軸于點E，

∵CE⊥y軸，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，

在△AOB與△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS），

∴CE=OB=n，BE=OA=m，

∴OE=OB+BE=m+n，

∴點C的坐標為（n，m+n）．

故答案為：（n，m+n）；

（2）證明：∵△AOB≌△BEC，

∴BE=OA=OP，CE=BO，

∴PE=OB=CE，

∴∠EPC=45°，

∠APC=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABM與△CBN中，

，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴BM=BN；

（3）證明：∵點C關于直線AB的對稱點為D，點C關于直線AP的對稱點為G，

∴AD=AC，AG=AC，

∴AD=AG，

∵∠1=∠5，∠1=∠6，

∴∠5=∠6，

在△DAH與△GAH中，

，

∴△DAH≌△GAH（SAS），

∴D，G關于x軸對稱．