Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC邊上的一點，P1，P2是點P關于AB、AC的對稱點，連結P1P2，分別交AB、AC于點D、E．

（1）若∠A＝52°，求∠DPE的度數；

（2）如圖2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出點P關于AB、AC的對稱點P1、P2，（不寫作法，保留作圖痕跡），試判斷點P1，P2與點A是否在同一直線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠DPE＝76°；（2）詳見解析.

【解析】

（1）利用軸對稱的性質證明：∠DPP1+∠EPP2=∠A，根據∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）計算即可；

（2）點P1，P2與點A在同一條直線上．證明∠PAP1+∠PAP2=180°即可．

解：（1）∵P1，P2是點P關于AB、AC的對稱點，
∴PD=P1D，PE=P2E，
∴∠EDP=2∠DPP1，∠DEP=2∠EPP2，
∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°①，
2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°②
②-①得：∠DPP1+∠EPP2=∠A，
∵∠A=52°，
∴∠DPP1+∠EPP2=52°，
∴∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）
=180°-2（∠DPP1+∠EPP2）
=180°-104°=76°．

（2）點P1，P2與點A在同一條直線上．

理由如下：連接AP，AP1，AP2．

根據軸對稱的性質，可得∠4＝∠1，∠3＝∠2，

∵∠BAC＝90°，即∠1+∠2＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即∠P1AP2＝180°，

∴點P1，P2與點A在同一條直線上．