Question

【題目】已知拋物線y=a(x-2)2-9經過點P(6,7),與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,直線AP與y軸交于點D,拋物線對稱軸與x軸交于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點E任作一條直線l(點B、C分別位于直線l的異側),設點C到直線的距離為m,點B到直線l的距離為n,求m+n的最大值；

(3)y軸上是否存在點Q,使∠QPD=∠DEO,若存在,請求出點Q的坐標:若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） y=x2-4x-5；（2）；（3）Q1（0,5），Q2（0，-11）.

【解析】分析：（1）把P點坐標代入y=a（x-2）2-9中求出a即可得到拋物線解析式；

（2）作BM⊥l于M，BN⊥l于N，BG⊥CM于G，如圖1，利用四邊形BGMN為矩形得到BN=MG，則m+n=CG，利用BG≤BC（當且僅當M點在BC上取等號）得到m+n的最大值為BC的長，然后求出B、C坐標后計算出BC即可；

（3）先利用待定系數法求出直線AD的解析式為y=x+1，則D（0，1），PD=6，△AOD為等腰直角三角形，易得E（2，0），則tan∠DEO=，討論：當點Q在點D的上方，作QG⊥AP于G，如圖2，設QG=t，證明△QDG為等腰直角三角形得到DG=QG=t，QD=t，則利用∠QPD=∠DEO和正切定義得到，解方程求出t，從而可確定Q點坐標；當點Q在點D的下方，作QG⊥AP于G，如圖3，設QG=t，利用同樣方法得到，然后解方程求出t，從而得到Q點坐標．

詳解：（1）∵拋物線y=a（x-2）2-9經過點P（6，7），

∴a（6-2）2-9=7，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=（x-2）2-9，

即y=x2-4x-5；

（2）作BM⊥l于M，BN⊥l于N，BG⊥CM于G，如圖1，

易得四邊形BGMN為矩形，

∴BN=MG，

∴m+n=CM+BN=CM+MG=CG，

∵BG≤BC（當且僅當M點在BC上取等號）

∴m+n的最大值為BC的長，

當x=0時，y=x2-4x-5=-5，則C（0，-5），

當y=0時，x2-4x+5=0，解得x1=-1，x2=5，則A（-1，0），B（5，0）

∴BC=，

∴m+n的最大值為5；

（3）存在．

設直線AD的解析式為y=kx+b，

把A（-1，0），P（6，7）代入得，

解得 ，

∴直線AD的解析式為y=x+1，

當x=0，y=x+1=1，則D（0，1），

∴PD=，△AOD為等腰直角三角形，

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，

∴E（2，0），

∴tan∠DEO=，

當點Q在點D的上方，作QG⊥AP于G，如圖2，

設QG=t，

∵∠QDG=∠ADO=45°，

∴△QDG為等腰直角三角形，

∴DG=QG=t，QD=QG=t，

∴PG=PD-DG=6-t，

∵∠QPD=∠DEO，

∴tan∠QPD=，

∴，解得t=2，

∴DQ=2×=4，

∴OQ=4+1=5，

∴Q點坐標為（0，5）；

當點Q在點D的下方，作QG⊥AP于G，如圖3，

設QG=t，

∴△QDG為等腰直角三角形，

∴DG=QG=t，QD=QG=t，

∴PG=PD+DG=6+t，

∵∠QPD=∠DEO，

∴tan∠QPD=，

∴，解得t=6，

∴DQ=6×=12，

∴OQ=12-1=11

∴Q點坐標為（0，-11），

綜上所述，Q點的坐標為（0，5）或（0，-11）．