Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC．
（1）求證：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FAFD=12，若AB是△ABC外接圓的直徑，FA=2，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形AFBC內接于圓，

∴∠FBC+∠FAC=180°，

∵∠CAD+∠FAC=180°，

∴∠FBC=∠CAD，

∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠EAD=∠FAB，

∴∠FAB=∠CAD，

又∵∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB；

（2）

解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，

又∵∠FCB=∠FAB，

∴∠FAB=∠FBC，

∵∠BFA=∠BFD，

∴△AFB∽△BFD，

∴ ，

∴BF2=FAFD=12，

∴BF=2 ，

∵FA=2，

∴FD=6，AD=4，

∵AB為圓的直徑，

∴∠BFA=∠BCA=90°，

∴tan∠FBA= = = ，

∴∠FBA=30°，

又∵∠FDB=∠FBA=30°，

∴CD=ADcos30°=4× =2 ．

【解析】（1）由圓內接四邊形的性質和鄰補角關系證出∠FBC=∠CAD，再由角平分線和對頂角相等得出∠FAB=∠CAD，由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出結論；
　　　　（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，證出△AFB∽△BFD，得出對應邊成比例求出BF，得出FD、AD的長，由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函數求出∠FBA=30°，再由三角函數求出CD的長即可．本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、圓內接四邊形的性質、三角函數等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關鍵．