Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數．

小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC．

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數為_____度；

(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數量關系？請說明理由；

(3)在(2)的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）110°．（2）∠APC=∠α+∠β，（3）當P在BD延長線上時，∠CPA=∠α﹣∠β；當P在DB延長線上時，∠CPA=∠β﹣∠α．

【解析】

試題（1）過點P作PE∥AB，則有PE∥AB∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補得到∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，再根據∠APC=∠APE+∠CPE和已知∠APE和∠CPE度數即可求出∠APC的角度。（2）過P作PE∥AB交AC于E，則有AB∥PE∥CD，進而得到∠α=∠APE，∠β=∠CPE，再根據∠APC=∠APE+∠CPE，即可用α、β來表示∠APC的度數；（3）根據題意畫出圖形，當P在BD延長線上時，P作PE∥AB交AC于E，則有AB∥PE∥CD，可得到∠CPA=∠β﹣∠α，當如圖所示，當P在DB延長線上時，P作PE∥AB交AC于E，則有AB∥PE∥CD，可得到∠CPA=∠β﹣∠α；

試題解析：

（1）解：過點P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

（2）∠APC=∠α+∠β，

理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）如圖所示，當P在BD延長線上時，

∠CPA=∠α﹣∠β；

如圖所示，當P在DB延長線上時，

∠CPA=∠β﹣∠α．