Question

【題目】問題的提出:

如果點P是銳角△ABC內一動點，如何確定一個位置，使點P到△ABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小?

問題的轉化:

(1)把ΔAPC繞點A逆時針旋轉60度得到連接這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉化成確定的最小值的問題了,請你利用如圖證明:

；

問題的解決:

(2)當點P到銳角△ABC的三項點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，請你用一定的數量關系刻畫此時的點P的位置:_____________________________；

問題的延伸：

(3)如圖是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點P是這個三角形內一動點，請你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠APB=∠APC=120°；（3）．

【解析】

（1）問題的轉化：

根據旋轉的性質證明△APP'是等邊三角形，則PP'=PA，可得結論；

（2）問題的解決：

運用類比的思想，把△APC繞點A逆時針旋轉60度得到△AP′C′，連接PP′，由“問題的轉化”可知：當B、P、P'、C'在同一直線上時，PA+PB+PC的值為最小，確定當：∠APB=∠APC=120°時，滿足三點共線；

（3）問題的延伸：

如圖3，作輔助線，構建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的長，即是點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值．

問題的轉化：

如圖1，

由旋轉得：∠PAP'=60°，PA=P'A，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'=PA，

∵PC=P'C，

∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．

問題的解決：

滿足：∠APB=∠APC=120°時，PA+PB+PC的值為最小；

理由是：如圖2，把△APC繞點A逆時針旋轉60度得到△AP′C′，連接PP′，

由“問題的轉化”可知：當B、P、P'、C'在同一直線上時，PA+PB+PC的值為最小，

∵∠APB=120°，∠APP'=60°，

∴∠APB+∠APP'=180°，

∴B、P、P'在同一直線上，

由旋轉得：∠AP'C'=∠APC=120°，

∵∠AP'P=60°，

∴∠AP'C'+∠AP'P=180°，

∴P、P'、C'在同一直線上，

∴B、P、P'、C'在同一直線上，

∴此時PA+PB+PC的值為最小，

故答案為∠APB=∠APC=120°；

問題的延伸：

如圖3，

Rt△ACB中，∵AB=2，∠ABC=30°，

∴AC=1，BC=，

把△BPC繞點B逆時針旋轉60度得到△BP′C′，連接PP′，

當A、P、P'、C'在同一直線上時，PA+PB+PC的值為最小，

由旋轉得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，

∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP'=PB，

∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，

∴∠ABC'=90°，

由勾股定理得：AC'=，

∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，

則點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值為．