Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A(a，0)，B(b，0)，且a，b滿足|2a+6|+(2a﹣3b+12)2＝0，現同時將點A，B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．

(1)請直接寫出A、B、C、D四點的坐標；

(2)如圖2，點P是線段AC上的一個動點，點Q是線段CD的中點，連接PQ，PO，當點P在線段AC上移動時(不與A，C重合)，請找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的數量關系，并證明你的結論；

(3)在坐標軸上是否存在點M，使三角形MAD的面積與三角形ACD的面積相等？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)，B(2，0)，C（-5，2），D（0，2）；（2）∠PQD+∠OPQ+∠POB＝360°，理由見解析；（3）(2，0)或(﹣8，0)或(0，﹣)或(0，)

【解析】

（1）根據絕對值的非負性、偶次方的非負性分別求出a、b，得到點A，B的坐標，即可解決問題；

（2）求出五邊形QPOBD的內角和，根據平行線的性質得到∠QDB＋∠OBD＝180°，計算即可；

（3）根據題意求出△ACD的面積，分點M在x軸上、點M在y軸上兩種情況，根據三角形的面積公式計算即可．

解：(1)∵|2a+6|+(2a﹣3b+12)2＝0，

∴|2a+6|＝0，(2a﹣3b+12)2＝0，

解得，a＝﹣3，b＝2，

則點A，B的坐標分別為A(﹣3，0)，B(2，0)；

將點A，B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，則C（-5,2）D（0,2）；

(2)∠PQD+∠OPQ+∠POB＝360°，

理由如下：五邊形QPOBD的內角和＝(5﹣2)×180°＝540°，

∵CD∥AB，

∴∠QDB+∠OBD＝180°，

∴∠PQD+∠OPQ+∠POB＝540°﹣(∠QDB+∠OBD)＝360°；

(3)由題意得，點C的坐標為(﹣5，2)，點D的坐標為(0，2)，

則△ACD的面積＝×5×2＝5，

當點M在x軸上時，設點M的坐標為(x，0)，

則AM＝|﹣3﹣x|，

由題意得，×|﹣3﹣x|×2＝5，

解得，x＝2或﹣8，

當點M在y軸上時，設點M的坐標為(0，y)，

則AM＝|2﹣y|，

由題意得，×|2﹣y|×3＝5，

解得，y＝﹣或，

綜上所述，三角形MAD的面積與三角形ACD的面積相等時，點M的坐標為(2，0)或(﹣8，0)或(0，﹣)或(0，)．