Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F．下列結論：①CE=CF；②線段EF的最小值為2 ；③當AD=2時，EF與半圓相切；④若點F恰好落在 上，則AD=2 ；⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積是16 ．其中正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①、③、⑤
【解析】解：①連接CD，如圖1所示．
∵點E與點D關于AC對稱，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴結論“CE=CF”正確．
②當CD⊥AB時，如圖2所示．

∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4 ．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD= BC=2 ．
根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：
點D在線段AB上運動時，CD的最小值為2 ．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴線段EF的最小值為4 ．
∴結論“線段EF的最小值為2 ”錯誤．
③當AD=2時，連接OC，如圖3所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2．
∴AD=DO．
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵點E與點D關于AC對稱，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA=30°．
∴∠ECO=90°．
∴OC⊥EF．
∵EF經過半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．
∴結論“EF與半圓相切”正確．
④當點F恰好落在 上時，連接FB、AF，如圖4所示．

∵點E與點D關于AC對稱，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴ ．
∵FC= EF，
∴FH= FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB= AB=4．
∴DB=4．
∴AD=AB﹣DB=4．
∴結論“AD=2 ”錯誤．
⑤∵點D與點E關于AC對稱，

點D與點F關于BC對稱，
∴當點D從點A運動到點B時，
點E的運動路徑AM與AB關于AC對稱，
點F的運動路徑NB與AB關于BC對稱．
∴EF掃過的圖形就是圖5中陰影部分．
∴S陰影=2S△ABC
=2× ACBC
=ACBC
=4×4
=16 ．
∴EF掃過的面積為16 ．
∴結論“EF掃過的面積為16 ”正確．
所以答案是：①、③、⑤．
【考點精析】本題主要考查了垂線段最短和平行線的判定與性質的相關知識點，需要掌握連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；現實生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質的應用；由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質才能正確解答此題．