Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB的中點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連接OM、ON、BM、BN．記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S1、S2、S3 ， 則下列結論不一定成立的是（ ）
A.S1＞S2+S3
B.△AOM∽△DMN
C.∠MBN=45°
D.MN=AM+CN

Answer 1

【答案】A
【解析】解：（1.）如圖，作MP∥AO交ON于點P，
∵點O是線段AE上的一個動點，當AM=MD時，
S梯形ONDA= （OA+DN）AD
S△MNO=S△MOP+S△MPN= MPAM+ MPMD= MPAD，
∵ （OA+DN）=MP，
∴S△MNO= S梯形ONDA ，
∴S1=S2+S3 ，
∴不一定有S1＞S2+S3 ，
（2.）∵MN是⊙O的切線，
∴OM⊥MN，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3.）如圖，作BP⊥MN于點P，

∵MN，BC是⊙O的切線，
∴∠PMB= ∠MOB，∠CBM= ∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，

∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MP+PN=AM+CN．
故C，D成立，
綜上所述，A不一定成立，
故選：A．
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質和切線的性質定理，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．