Question

【題目】已知平行四邊形ABCD，連接AF，CE、AF平分交BC于點F，CE平分交AD于點E．

（1）如圖1，求證：四邊形AFCE為平行四邊形；

（2）如圖2，連接BD，分別交AF、CE于G、H，若，在不添加其他輔助線的情況下，直接找出圖中面積為平行四邊形ABCD面積的的三角形或四邊形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），；四邊形，四邊形

【解析】

（1）利用角平分線的性質再結合平行四邊形的性質進而得出AF∥EC，即可得出答案；

（2）連接EF，證明E、F分別為AD和BC中點，即可根據三角形面積公式和平行四邊形面積公式，知和面積為行四邊形ABCD面積的；再根據圖形的對稱性，可知四邊形和四邊形面積相等，即可得出答案．

證明：（1）∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，

∴∠FAE=∠BAE，∠FCE=∠FCD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAE=∠FCD，AD∥BC，

∴∠FAE=∠FCE，∠FCE=∠CED，

∴∠FAE=∠CED，

∴AF∥EC，

又∵AE∥CF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形；

（2）如圖，連接EF,

∵AF平分，

∴∠EAF=∠BAF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EAF=∠BFA，

∴∠BAF=∠BFA，

∴BA=BF，

∵，

∴BF=FC，即點F為BC的中點，

同理可證點E為AD中點，

∴，

易證四邊形，四邊形為全等圖形，

∴，

∴面積為平行四邊形ABCD面積的的三角形或四邊形有：，，四邊形，四邊形．