Question

【題目】如圖，四邊形ABCD 內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AE交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA．

∵AE是⊙O切線，

∴OA⊥AE，

∴∠OAE=90°，

∴∠EAD+∠OAD=90°，

∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，

∴AE⊥CD

（2）解：過點O作OF⊥CD，垂足為點F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四邊形AOFE是矩形．

∴OF=AE=4cm．

又∵OF⊥CD，

∴DF= CD=3cm．

在Rt△ODF中，OD= =5cm，

即⊙O的半徑為5cm

【解析】（1）欲證明AE⊥CD，只要證明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F．從而證得四邊形AOFE是矩形，得出OF=AE，根據垂徑定理得出DF= CD，在Rt△ODF中，根據勾股定理即可求得⊙O的半徑．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．