Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．

（1）利用尺規作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；

②若CD＝2，AB＝4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

（1）利用尺規作出∠ADC的角平分線即可；

（2）①延長DE交AB的延長線于F．只要證明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三線合一的性質即可解決問題；②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根據垂線段最短可知：當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長.

（1）如圖，∠ADC的平分線DE如圖所示，

（2）延長DE交AB的延長線于F，

∵CD∥AF，

∴∠CDE＝∠F，

∵∠CDE＝∠ADE，

∴∠ADF＝∠F，

∴AD＝AF，

∵AD＝AB+CD＝AB+BF，

∴CD＝BF，

∵∠DEC＝∠BEF，

∴△DEC≌△FEB，

∴DE＝EF，

∵AD＝AF，

∴AE⊥DE；

②作點B關于AE的對稱點K，連接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．連接MK，

∵AD＝AF，DE＝EF，

∴AE平分∠DAF，則△AEK≌△AEB，

∴AK＝AB＝4，

在Rt△ADG中，DG，

∵KH∥DG，

∴，

∴，

∴KH，

∵MB＝MK，

∴MB+MN＝KM+MN，

∴當K、M、N共線，且與KH重合時，KM+MN的值最小，最小值為KH的長，∴BM+MN的最小值為．