Question

【題目】已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合，把這張矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊AD與點(diǎn)M，折痕交邊BC于點(diǎn)N .

（1）寫出圖中的全等三角形. 設(shè)CP= ，AM= ，寫出與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試判斷∠BMP是否可能等于90°. 如果可能，請(qǐng)求出此時(shí)CP的長(zhǎng)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)CM=1時(shí)， .

【解析】試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：△MBN≌△MPN，即可得MB=MP，又由四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD，∠A=∠D=90°，然后分別在Rt△ABM與Rt△DMP中，利用勾股定理，可得MB2=AM2+AB2=y2+4，MP2=MD2+PD2=2+2，繼而求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若∠BMP=90°，可證得△ABM≌△DMP，即可得AM=DP，AB=DM，則可求得CP的長(zhǎng)．

試題解析：（1）⊿MBN≌⊿MPN .

∵⊿MBN≌⊿MPN，

∴MB=MP，

∴.

∵矩形ABCD，

∴AD=CD (矩形的對(duì)邊相等)，

∴∠A=∠D=90°(矩形四個(gè)內(nèi)角都是直角) .

∵AD=3， CD=2， CP=x， AM=y，

∴DP=2-x， MD=3-y .

在Rt⊿ABM中，

.

同理 .

.

∴ .

（2）

當(dāng)時(shí)，

可證.

∴ AM=CP，AB=DM.

∴.

∴ .

∴當(dāng)CM=1時(shí)， .