Question

【題目】如圖拋物線的開口向下與軸交于點和點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點(不與點重合)

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點是拋物線上一個動點，若的面積為12，求點的坐標；

(3)如圖2，拋物線的頂點為，在拋物線上是否存在點，使得，若存在請直接寫出點的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標為（2，8）或（4，6）或（3，1）或（3＋，1）；（3）點E坐標為（，）或（，）．

【解析】

（1）將點和點代入求出a，b即可；

（2）如圖作輔助線，根據S△PCA＝PG×AC＝×HP×＝12求出HP＝4，由直線AC的表達式為y＝x＋6可得直線m的表達式，然后求出直線m和拋物線的交點即可得到兩個P點坐標，同理可得直線n的表達式，進而得出另外兩個P點坐標；

（3）首先證明∠ACD＝90°，可得sin∠DAC＝，然后作輔助線構造三角形，求出sin2∠DAC＝，進而可得tan∠EAB＝，然后分情況討論：①當點E在AB上方時，求出直線AE的表達式即可解決問題，②當點E在AB下方時，同理計算即可．

解：（1）將點和點代入得：/span>，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）如圖1所示，過點P作直線m∥AC交拋物線于點P′，在直線AC下方等距離處作直線n交拋物線于點P″、P′″，過點P作PH∥y軸交AC于點H，作PG⊥AC于點G，

∵拋物線的解析式為：，

∴C（0，6），

∴OA＝OC，

∴∠PHG＝∠ACB＝45°，則HP＝PG，

∴S△PCA＝PG×AC＝×HP×＝12，

解得：HP＝4，

易得直線AC的表達式為：y＝x＋6，

則直線m的表達式為：y＝x＋10，

聯立，解得：或，

∴點P坐標為（2，8）或（4，6）；

同理可得，直線n的表達式為：y＝x＋2，點P（P″、P′″）的坐標為（3，1）或（3＋，1），

綜上，點P的坐標為（2，8）或（4，6）或（3，1）或（3＋，1）；

（3）∵，

∴D（2，8），

∵點A（6，0）、B（2，0）、C（0，6），

∴AC2＝，CD2＝，AD2＝，

∴AC2＋CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴sin∠DAC＝，

如圖2，延長DC至D′使CD＝CD′，連接AD′，過點D作DH⊥AD′，

則DD′＝2CD＝，AD＝AD′＝，

∵S△ADD′＝×DD′×AC＝DH×AD′，

∴××＝DH×，

解得：DH＝，

∴sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝，

易得tan∠EAB＝，

①當點E在AB上方時，如圖3，

設直線AE交y軸于F，

則tan∠EAB＝，

∴OF＝，即F（0，），

設直線AE的表達式為：y=kx+，

代入A（－6，0）解得：，

∴直線AE的表達式為：y＝x＋，

聯立，解得：或，

∴點E坐標為（，）；

②當點E在AB下方時，

同理可得：點E（，），

綜上，點E坐標為（，）或（，）．