Question

【題目】如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分線與AB的垂直平分線DG交于點D，DE⊥CA的延長線于點E，DF⊥CB于點F．

(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)求證：AE＝BF；

(3)求DG的長．

Answer 1

【答案】(1)直角三角形；(2)過程見解析；(3)5.

【解析】

(1)根據勾股定理的逆定理即可判斷△ABC是直角三角形；

(2)根據中垂線、角平分線的性質來證明Rt△AED≌Rt△BFD，然后根據全等三角形的對應邊相等推知AE=BF；

(3)首先根據(1)和(2)得出的結論，證明△ADB是直角三角形，再利用三線合一的性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，進而得出DG．

解：(1)∵AC=6，BC=8，AB=10，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

(2)證明：連接AD、BD，

∵CD是∠BCA的平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵DG是AB邊的垂直平分線，

∴DA=DB，

在Rt△AED和Rt△BFD中，

∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），

∴AE=BF；

(3)由(1)得∠ACB=90°，

∵∠E=∠DFC=90°

∴∠EDF=90°，

由(2)知∠EDA=∠FDB，

∴∠ADB=90°，

∵DG⊥AB，DA=DB，

∴DG=AB=5．

故答案為：(1)直角三角形；(2)過程見解析；(3)5.