Question

【題目】如圖，頂點為的拋物線與交軸分別于點，（點在點的左側），與交軸交于點．已知直線的解析式為．

(1)求拋物線的解析式：

(2)若以點為圓心的圓與相切，求的半徑；

(3)在軸上是否存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)在軸上存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似，點的坐標是或

【解析】

(1)利用直線的解析式分別求得A、C的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；

(2)利用兩點之間的距離公式，分別求得AD、AC、CD的長，根據勾股定理的逆定理先判斷出△ADC是直角三角形，再利用面積法即可求解；

(3)分三種情況討論，利用相似三角形對應邊成比例即可求解．

(1)把代入，得．

∴，

把代入，得，

∴，

把，，代入，得

，解得，

∴拋物線的解析式為：；

(2)∵，，，

∴在中，，，

同理：，，

，，

∴，

∴是直角三角形，

過點作，垂足為點，

∴，

∴，

∴，

∴的半徑為；

(3)答：在軸上存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似．

解：在中，，

∴，

①當()時，

，即，

∴．

此時點的坐標是．

②當()時，

．即，

∴，

，

此時點的坐標是；

③當()時，點不在軸上；

綜上所述，在軸上存在一點，使得以，，三點為頂點的三角形與相似，點的坐標是或．