Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（3，﹣2）在對稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c的圖象上，其頂點為B．

（1）求頂點B的坐標；

（2）點C在對稱軸上，若△ABC的面積為2，求點C的坐標；

（3）將拋物線向左或右平移，使得新拋物線的頂點落在y軸上，問原拋物線上是否存在點M，平移后的對應點為N，滿足OM=ON？如果存在，求出點M，N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(2,-3)；（2）（2，1）或（2，﹣7）；（3）見解析.

【解析】分析：根據拋物線的對稱軸為直線x=2，即可求出，把點代入拋物線的解析式即可求出，把拋物線的解析式通過配方變成頂點式，即可求出點的坐標.

設則點A到對稱軸的距離是1，求出的值即可.

拋物線的頂點坐標為，平移后拋物線的頂點坐標在y軸上，則拋物線向左平移了2個單位長度．平移后拋物線的解析式為： MN=2．點M與點N關于y軸對稱，設則 分別代入解析式可得解得

即可求出點的坐標.

詳解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x=2，

∴，

解得：

∴

把代入，得

解得

∴該拋物線解析式為：

頂點的坐標為：

(2)設則

∵點A到對稱軸的距離是1，

∴ 即a=1或

∴點C的坐標是或；

（3）∵拋物線的頂點坐標為，平移后拋物線的頂點坐標在y軸上，

∴拋物線向左平移了2個單位長度．

∴平移后拋物線的解析式為： MN=2．

∵

∴點O在線段MN的垂直平分線上，

又MN∥x軸，

∴點M與點N關于y軸對稱，

設則 分別代入解析式可得

解得

∴點M的坐標為點N的坐標為.即原拋物線存在點M，平移后的對應點為N，滿足OM=ON，此時點M的坐標為點N的坐標為.