Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過A（6，0）、B（8，8）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；

（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，在坐標平面內有點P，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=x2﹣3x；（2）D點的坐標為（4，﹣4）；（3）點P的坐標是（）或（）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式進而得出答案即可；
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數以一次函數聯立求出交點即可；
（3）首先求出直線A′B的解析式，進而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，進而求出點P1的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標．

試題解析：

（1）∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過A（6，0）、B（8，8）

∴將A與B兩點坐標代入得：，解得：，

∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x．

（2）設直線OB的解析式為y=k1x，由點B（8，8），

得：8=8k1，解得：k1=1

∴直線OB的解析式為y=x，

∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m，

∴x﹣m=x2﹣3x，

∵拋物線與直線只有一個公共點，

∴△=16﹣2m=0，

解得：m=8，

此時x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4，

∴D點的坐標為（4，﹣4）

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（6，0），

∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，6），

根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，

設直線A′B的解析式為y=k2x+6，過點（8，8），

∴8k2+6=8，解得：k2= ，

∴直線A′B的解析式是y=，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，即點N在直線A′B上，

∴設點N（n，），又點N在拋物線y=x2﹣3x上，

∴=n2﹣3n， 解得：n1=﹣，n2=8（不合題意，舍去）

∴N點的坐標為（﹣，）．

如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，

則N1（﹣，-），B1（8，﹣8），

∴O、D、B1都在直線y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴，

∴點P1的坐標為（）．

將△OP1D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（），

綜上所述，點P的坐標是（）或（）．