Question

【題目】如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，下面四個結論正確的有________________．

①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度數不變，始終等于60°；④當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】∵點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，

∴AP=BQ，∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，BP=CQ，

∴△ABQ≌△CAP.（即結論②成立）；

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠CMQ=∠ACP+∠CAM，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠CAM=∠CAP=60°.（即結論③成立）；

又∵∠MQC>∠ABQ=60°，

∴∠MQC>∠CMQ，

∴MC>QC，即MC>BP.（即結論①不成立）；

設t秒時，△BPQ是直角三角形，此時AP=BQ=t，BP=4-t，

（1）當∠PQB=90°，∵∠PBQ=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=PB，即，解得： ；

（2）當∠QPB=90°時，∵∠PBQ=60°，

∴∠PQB=30°，

∴BP=BQ，即，解得： .

結合（1）、（2）可得：當或時，△BPQ是直角三角形.（即結論④成立）；

綜上所述，正確的結論是：②③④.