Question

【題目】（1）問題探究

①如圖1，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝3，P是AC邊上一點，連接BP，則BP的最小值為　 　．

②如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求邊AB的長度（用含a的代數式表示）．

（2）問題解決

如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，D是邊BC的中點，若P是AB邊上一點，試求：PD+AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）．

【解析】

（1）①作BE⊥AC于E，先利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出BE，由此得到BP的最小值為BE的長；

②利用AC=a根據勾股定理即可求出AB的長度；

（2）作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T，利用等腰直角三角形的性質得到BT＝BD＝AT＝1，DT＝，再求出TF＝得到DP+PA＝DP+PE，由此得到DP+PE最小值為DF的長，計算DF即可得到答案.

（1）①如圖1中，作BE⊥AC于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝3，

∴AB＝ ,

∵S△ABC＝ACBE＝ABBC，

∴BE＝，

根據垂線段最短可知當BP與BE重合時，PB的值最小，最小值為，

故答案為．

②如圖2中，

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴AB2＝a2，

∴AB＝或﹣（舍棄），

∴AB＝；

（2）如圖3中，作AH⊥AC，PE⊥AH于span>E，DF⊥AH于F交AB于T．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2，

∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠C＝45°，

∵點D是BC的中點，

∴BD＝CD＝1，

∵DF⊥AH，AC⊥AH，

∴DF∥AC，

∴∠BTD＝∠BAC＝45°，∠BDT＝∠C＝45°，

∴∠BTD＝∠BDT，

∴BT＝BD＝AT＝1，DT＝，

∵AH⊥AC，∠BAC＝45°，

∴∠HAC＝90°，∠HAT＝45°，

∴AF＝TF＝，

∴PE＝PA，

∴DP+PA＝DP+PE，

根據垂線線段最短可知，當點E與F重合時，PD+PA的值最小，最小值為DF的長＝+＝.