Question

【題目】給出如下規定：兩個圖形和，點為上任一點，點為上任一點，如果線段的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形和之間的距離．

在平面直角坐標系xOy中，0為坐標原點．

（1）點的坐標為，則點和射線之間的距離為______，點和射線之間的距離為　　　　．

（2）如果直線和雙曲線之間的距離為，那么____；(可在圖1中進行研究)

（3）點的坐標為，將射線繞原點逆時針旋轉，得到射線，在坐標平面內所有和射線之間的距離相等的點所組成的圖形記為圖形．

①請在圖2中畫出圖形，井描述圖形的組成部分：(若涉及平面中某個區域時可以用陰影表示)

②將射線組成的圖形記為圖形，拋物線與圖形的公共部分記為圖形，請直接寫出圖形和圖形之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）3，5；（2）-2；（3）①圖形見解析；圖形M為y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內部所有的點；②

【解析】

（1）只需根據新定義即可解決問題；
（2）過點O作直線y=x的垂線，與雙曲線交于點A、B，過點B作BH⊥x軸，如圖1，根據新定義可得直線y=x和雙曲線之間的距離就是線段OB的長，如何只需求出點B的坐標，運用待定系數法就可求出k的值；
（3）①過點O分別作射線OE、OF的垂線OG、OH，如圖2，根據新定義可得圖形M為y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內部所有的點；
②設拋物線y=x2-2與射線OG的交點為Q，如圖3，圖形N上點的坐標可設為（x，x2-2），根據新定義可得圖形W與圖形N之間的距離為的最小值．可通過求出點Q的坐標得到x2的范圍，然后利用二次函數的增減性求出x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值，就可解決問題．

（1）點（2，3）和射線OA之間的距離為3，
點（-3，4）和射線OA之間的距離為，
故答案分別為：3，5；
（2）∵直線y=x和雙曲線之間的距離為2，
∴k＜0（否則直線y=x和雙曲線相交，它們之間的距離為0）．
過點O作直線y=x的垂線，與雙曲線交于點A、B，過點B作BH⊥x軸，如圖1，

在Rt△OHB中，∠HOB=∠HBO=45°，OB=2，
則有OH=BH=OB=，
∴點B的坐標為(，），
∴k=span>，
故答案為：-2；
（3）①過點O分別作射線OE、OF的垂線OG、OH，如圖2，

則圖形M為：y軸的正半軸、∠GOH的邊及其內部所有的點（圖2中的陰影部分）；
②圖形W與圖形N之間的距離為

4

3

．

理由：設拋物線y=x2-2與射線OH的交點為P，與射線OG的交點為Q，如圖3，

圖形N為拋物線上P、Q之間（含P、Q）的部分，故圖形N上點的坐標可設為（x，x2-2），
則圖形W與圖形N之間的距離為的最小值．
∵E點的坐標為(1，1)

∴直線OE的解析式為：y=x，故直線OG的解析式為：y=-x

聯立方程組

解得：或

故點Q的坐標為(1，-1)，從而有0≤x2≤1，
由此可得x2+（x2-2）2=（x2-）2+的最小值為（1-）2+=2，
則圖形W與圖形N之間的距離為．