Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA=OB，C為AB中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，AO與⊙O交于點E，直線OB與⊙O交于點F和D，連接EF、CF與OA交于點G．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）求證：ODEG=OGEF；

（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析　（3）3．

【解析】（1）利用等腰三角形的性質，證明OC⊥AB即可；

（2）證明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解決問題；

（3）設OC=OD=r，在Rt△BOC中，根據OB2=OC2+BC2，列出方程即可解決問題；

（1）證明：∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切線．

（2）證明：∵OA=OB，AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC=∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴=，∵OD=OC，

∴ODEG=OGEF．

（3）解：設OC=OD=r，

在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，

∴（r+2）2=r2+42，

∴r=3，

∴⊙O的半徑為3．