Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E.

(1)如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；

(2)點M是線段CD上的一點(不與點C，D重合)，以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延長線于點G.求證：AD=DG+MD；

(3)點N是線段AD上的一點，以BN為一邊，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延長線于點G.請在圖3中畫出圖形，并直接寫出ND，DG與AD數量之間的關系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論：AD=DG+DM，證明見解析；（3）結論：AD=DGDN.證明見解析.

【解析】

(1)、根據含有30°角的直角三角形的性質得出∠ABC=60°，BC=0.5AB，BE=0.5AB，從而得出等邊三角形；(2)、延長ED使得DW=DM，連接MW，根據角平分線的性質以及直角三角形的性質得出△WDM是等邊三角形，從而證明出△WGM和△DBM全等，得出答案；(3)、延長BD至H，使得DH=DN，利用直角三角形的性質證明出△DNG和△HNB全等，從而得出答案．

(1)證明：如圖1所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，BC=0.5AB；

∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠DBA=∠A=30°.∴DA=DB.

∵DE⊥AB于點E ∴AE=BE=0.5AB，∴BC=BE， ∴△EBC是等邊三角形；

(2)結論：AD=DG+DM.

證明：如圖2所示：延長ED使得DW=DM，連接MW，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，

∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，又∵DM=DW， ∴△WDM是等邊三角形，

∴MW=DM，∴△WGM≌△DBM，∴BD=WG=DG+DM，∴AD=DG+DM.

(3)結論：AD=DGDN．

證明：延長BD至H，使得DH=DN， 由(1)得DA=DB，∠A=30°.

∵DE⊥AB于點E， ∴∠2=∠3=60°，∴∠4=∠5=60°，∴△NDH是等邊三角形

∴NH=ND ∠H=∠6=60°， ∴∠H=∠2， ∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.

即∠DNG=∠HNB， ∴△DNG≌△HNB(ASA)， ∴DG=HB.

∵HB=HD+DB=ND+AD， ∴DG=ND+AD， ∴AD=DGND．