Question

【題目】綜合探究：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣+bx+8與x軸交于點A（﹣6，0）和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，點P為線段AO上的一個動點，過點P作x軸的垂線l與拋物線交于點E，連接AE、EC．

（1）求拋物線的表達式及點C的坐標；

（2）連接AC交直線l于點D，則在點P運動過程中，當點D為EP中點時，S△ADP：S△CDE=　 　；

（3）如圖2，當EC∥x軸時，點P停止運動，此時，在拋物線上是否存在點G，使得以點A、E、G為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點G的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，8）（2）1：2（3）存在點G使得以點A，E，G為頂點的三角形為直角三角形，符合條件的G點的坐標為G（， ）或G（，﹣），

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，令求出軸交點坐標；
（2）先確定出直線 解析式為設出點E的坐標，表示出點而點D在直線AC上，列出方程

求出，從而得出結論；
（3）先求出點的坐標，再分兩種情況計算Ⅰ、當時，判斷出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、當時，判斷出△GNA∽△APE，得到比例式計算．

試題解析：(1)∵點A(6,0)在拋物線上，

∴

∴

令x=0，y=8，

∴C(0,8)

(2)設

∴P(m,0)，

∵點D為EP中點，

∴DP=DE,

∵A(6,0),C(0,8)，

∴直線AC解析式為

∵點D在直線AC上，

∴

∴m=6(舍)或m=4，

∴P(4,0)

∴AP=2，OP=4，

故答案為1:2

(3)存在點G使得以點A，E，G為頂點的三角形為直角三角形，

連接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x軸，

∵EC∥x軸，

∴EP=CO=8，

把y=8代入

∴

∴x=0(舍)，或x=2，

∴P(2,0)，

∴AP=AOPO=4，

Ⅰ、如圖1，

當 時，

∴

∵

∴∠MEG=∠EAP，

∵

∴△EMG∽△APE，

∴

設點

∴

MG=PN=PO+ON=2+m，

∴ ∴m=2(舍)或

∴

Ⅱ、如圖2，

當時，

∴

∵

∴∠NAG=∠AEP，

∵

∴△GNA∽△APE，

∴

設點

∴AN=AO+ON=6+n，

∵

∴n=6(舍),或

∴

符合條件的G點的坐標為或