Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F．

求證：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一：連結CD，

∵BC為⊙O的直徑
∴CD⊥AB
∵AC＝BC
∴AD＝BD
證法二：連結CD，
∵BC為⊙O的直徑
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵AC＝BC，CD＝CD
∴△ACD≌△BCD
∴AD＝BD
（2）證明：證法一：連結OD，

∵AD＝BD，OB＝OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切線．
證法二：連結OD，
∵OB=OD
∴∠BDO＝∠B
∵∠B＝∠A
∴∠BDO=∠A
∵∠A+∠ADE＝90°
∴∠BDO＋∠ADE＝90°
∴∠ODF=90°
∴DF是⊙O的切線．
【解析】（1）連接DC，可構造直徑所對的90度的圓周角，再利用等腰三角形的性質，可證出結論；（2）連接OD，證ODDF，利用直徑的性質和等腰三角形的性質可證出結論.