Question

【題目】如圖，C為⊙O上的一點，P為直徑AB延長線上的一點，BH⊥CP于H交⊙O于D，∠PBH=2∠PAC．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若sin∠P= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠PAC=∠OCA，

∴∠COP=∠PAC+∠OCA=2∠PAC，

∵∠PBH=2∠PAC，

∴∠COP=∠OBH，

∴OC∥BH，

∵BH⊥CP，

∴OC⊥CP，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為2a，

在Rt△OCP中，sin∠P= ，OC⊥CP，

∴OP=3a，

∴PB=OP﹣OB=a，

作OG⊥DH，

則BG= BD，△OBG∽△PBH，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAC=∠OCA，推出∠COP=∠OBH，得到OC∥BH，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為2a，解直角三角形得到OP=3a，PB=OP﹣OB=a，作OG⊥DH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．