Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m≠0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對稱，其頂點為B．若點P是拋物線C₁上的點，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，則m為（　　）

• A、±

  3

• B、

  3

• C、±

  2

• D、

  2

Answer 1

分析：由于C₁、C₂關(guān)于y軸對稱，則A、B也關(guān)于y軸對稱，即AB∥x軸；根據(jù)C₁的解析式易知：C（0，1），A（m，m²+1）；若以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，則CP∥AB，且AP=CP；由此可知P點縱坐標(biāo)和點C相同也為1，代入C₁的解析式可求出P點坐標(biāo)；根據(jù)坐標(biāo)系兩點間距離公式可表示出AP、CP的長，根據(jù)AP=CP，可列出關(guān)于m的方程，即可得出m的值．

解答：解：易知：C（0，1），A（m，m²+1）；
若以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，則CP∥AB①，CP=AP②；
由①得：點P與點C縱坐標(biāo)相同，將y=1代入C₁，
得：x=0或x=2m，
即P（2m，1）；
由②得：（2m）²=m²+（m²+1-1）²，
即m²=3，
解得m=±

3

；
故選A．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合體，涉及到軸對稱、菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．