Question

（2010•房山區一模）已知拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求拋物線的解析式和頂點P的坐標；
（2）將拋物線沿x軸翻折，再向右平移，平移后的拋物線C₂的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求平移后的拋物線C₂的解析式；
（3）直線y=-

3

5

x+m與拋物線C₁、C₂的對稱軸分別交于點E、F，設由點E、P、F、M構成的四邊形的面積為s，試用含m的代數式表示s．

Answer 1

分析：（1）首先把拋物線C₁配方即可得到頂點坐標，然后把B的坐標當然其中計算即可求出拋物線C₁的解析式；
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，然后證明△PBH≌△MBG，接著利用全等三角形的性質求出M的坐標，最后就可以求出拋物線C₂的解析式；
（3）首先分別用m表示E、F兩點的坐標，然后討論：
①當E點的縱坐標小于-5時，用m的代數式分別表示PE，MF，然后就可以用含m的代數式表示s；
②當E點的縱坐標大于-5且F點的縱坐標小于5時，也是m的代數式分別表示PE，MF，然后就可以用含m的代數式表示s；
③當F點的縱坐標大于5時，也是用m的代數式分別表示PE，MF，然后就可以用含m的代數式表示s；

解答：解：（1）由拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a-5=a（x+2）²-5得
∴頂點P的坐標為（-2，-5）
∵點B（1，0）在拋物線C₁上，∴a=

5

9

∴拋物線C₁的解析式為y=

5

9

x2+

20

9

x-

25

9

；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G
∵點P、M關于點B成中心對稱
∴PM過點B，且PB=MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5，BG=BH=3
∴頂點M的坐標為（4，5）
∴拋物線C₂的表達式為y=-

5

9

（x-4）²+5；

（3）依題意得，E（-2，

6

5

+m），F（4，-

12

5

+m），HG=6
①當E點的縱坐標小于-5時，
PE=-5-(

6

5

+m)=-

31

5

-m，MF=5-(-

12

5

+m)=

37

5

-m，
∴s=

1

2

(-

31

5

-m+

37

5

-m)×6=-6m+

18

5

；
②當E點的縱坐標大于-5且F點的縱坐標小于5時，
PE=

6

5

+m-(-5)=

31

5

+m，MF=5-(-

12

5

+m)=

37

5

-m，
∴s=

204

5

；
③當F點的縱坐標大于5時，
PE=

6

5

+m-(-5)=

31

5

+m，MF=-

12

5

+m-5=-

37

5

+m
∴s=6m-

18

5

．

點評：此題是二次函數的綜合題，分別考查了待定系數法確定函數的解析式、二次函數的圖象和性質、全等三角形的判定性質及軸對稱的性質，綜合性很強，要求學生有很強的綜合分析問題解決問題的能力，同時要求學生的基礎知識是很熟練的．