Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=3，DH=5，然后利用銳角三角函數的定義求解即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE＝∠AEB．

∵AE是角平分線，

∴∠DAE＝∠BAE．

∴∠BAE＝∠AEB．

∴AB＝BE．

同理AB＝AF．

∴AF＝BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，

∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，

∴AP＝AB＝2，

∴PH＝，AH＝1，

∴DH＝5，

∴tan∠ADP＝＝．