Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC的中點，到點O的距離等于BC的所有點組成的圖形記為G，圖形G與AB交于點D．

（1）補全圖形并求線段AD的長；

（2）點E是線段AC上的一點，當點E在什么位置時，直線ED與 圖形G有且只有一個交點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）補全圖形見解析;AD=；（2）當點E是AC的中點時，ED與圖形G(⊙O)有且只有一個交點.證明見解析.

【解析】

(1)由勾股定理易求得AB的長;可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB,易知 ,可得關于AC. AD.AB的比例關系式，即可求出AD的長度；

(2)當ED與 相切時，由切線長定理知EC=ED,則∠ECD=∠EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE,即E是AC的中點、在證明時，可連接OD,證OD⊥DE即可.

（1）依題意畫出⊙O，如圖所示.

在Rt△ACB中，

∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，

∴AB=5.

連接CD，

∵BC為直徑，

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB.

∴ .

∴ .

（2）當點E是AC的中點時，ED與圖形G(⊙O)有且只有一個交點.

證明：連接OD，

∵DE是Rt△ADC斜邊上的中線,

∴ED=EC.

∴∠EDC=∠ECD.

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD.

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.

∴ED⊥OD.

∴ED與⊙O相切.

∴直線ED與圖形G(⊙O)有且只有一個交點.