Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過直線y=﹣x+3與坐標軸的兩個交點A、B，與x軸的另一個交點為C，頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）畫出拋物線的圖象；

（3）在x軸上是否存在點N使△ADN為直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）圖象見解析；（3）點N的坐標為（1，0）或（﹣7，0）．

【解析】

（1）先求得點A和點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得b，c的值即可；
（2）依據拋物線解析式為y=-x2+2x+3，列表，描點，連線即可；
（3）先利用配方法求得點D的坐標，當∠DNA=90°時，DN⊥OA，可得到點N的坐標，從而得到AN=2，然后再求得AD的長；當∠N′DA=90°時，依據sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的長，從而可得到N′的坐標．

解：（1）將x=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：y=3，

∴B（0，3）．

將y=0代入AB的解析式y=﹣x+3得：﹣x+3=0，

解得x=3，

即A（3，0）．

將點A和點B的坐標代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）列表：

拋物線的圖象如下：

（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

①當∠DNA=90°時，如圖所示：

∵∠DNA=90°時，

∴DN⊥OA．

又∵D（1，4）

∴N（1，0）．

∴AN=2．

∵DN=4，AN=2，

∴AD=2．

②當∠N′DA=90°時，則∠DN′A=∠NDA．

∴，

即 ，

解得：AN′=10．

∵A（3，0），

∴N′（﹣7，0）．

綜上所述，點N的坐標為（1，0）或（﹣7，0）．