Question

【題目】某數學實驗小組在探究“關于x的二次三項式ax2+bx+3的性質（a、b為常數）”時，進行了如下活動．

（實驗操作）取不同的x的值，計算代數式ax2+bx+3的值．

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
ax2+bx+3	…	0	3	4			…

（1）根據上表，計算出a、b的值，并補充完整表格．（觀察猜想）實驗小組組員，觀察表格，提出以下猜想．同學甲說：“代數式ax2+bx+3的值隨著x的增大而增大”．同學乙說：“不論x取何值，代數式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…

（2）請你也提出一個合理的猜想：　 　（驗證猜想）我們知道，猜想有可能是正確的，也可能是錯誤的．

（3）請你分別判斷甲、乙兩位同學的猜想是否正確，若不正確，請舉出反例；若正確，請加以說理．

Answer 1

【答案】（1）3，0；（2）當x＝﹣2和x＝4時，代數式（ax2+bx+3）的值是相等的；（3）甲的說法不正確，反例見解析，乙的說法正確，見解析

【解析】

（1）通過解方程組求得a、b的值．

（2）可以根據二次函數y＝ax2+bx+3的圖象性質進行猜想；

（3）舉出反例即可判斷．

解：（1）當x＝﹣1時，a﹣b+3＝0；

當x＝1時，a+b+3＝4．

可得方程組．

解得：．

當x＝2時，ax2+bx+3＝3；

當x＝3時，ax2+bx+3＝0．

故答案是：3；0；

（2）言之有理即可，比如當x＜1時，（ax2+bx+3）隨x的增大而增大；當x＝﹣2和x＝4時，代數式（ax2+bx+3）的值是相等的；

故答案是：當x＝﹣2和x＝4時，代數式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；

（3）甲的說法不正確．

舉反例：當x＝1時，y＝4；但當x＝2時，y＝3，所以y隨x的增大而增大，這個說法不正確．

乙的說法正確．

證明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∵（x﹣1）2≥0．

∴﹣（x﹣1）2+4≤4．

∴不論x取何值，代數式ax2+bx+3的值一定不大于4．