Question

【題目】如圖1，點P.Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB.BC上的點，點P從頂點A向B出發，點Q從頂點B同時出發向C點運動，且它們的速度都為1cm/s,

（1）連接AQ.CP交于點M，則在P.Q運動的過程中，△ABQ與△CAP全等嗎？請說明理由；

（2）∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數.

（3）幾秒后△PBQ是直角三角形？

（4）如圖2，若點P.Q在運動到終點后繼續在射線AB.BC上運動，直線AQ.CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數.

Answer 1

【答案】（1）△ABQ≌△CAP；（2）∠CMQ=60°不變；（3），當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；（4）∠CMQ=120°不變.

【解析】

（1）先根據全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP；

（2）由全等三角形的性質可知∠BAQ=∠ACP，故∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出結論；

（3）設時間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，當∠PQB=90°時，因為∠B=60°，所以PB=2BQ，即4﹣t=2t故可得出t的值，當∠BPQ=90°時，同理可得BQ=2BP，即t=2（4﹣t），由此兩種情況即可得出結論．

(4)由△ABC是等邊三角形，可得AC=BC, ∠ACB=∠ABC=60°可得∠ACQ=∠CBP=120°

可證△ACQ≌△CBP后可∠QAC的度數.

解：（1）△ABQ≌△CAP

理由是：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC, ∠B=∠PAC=60°

∵點P.Q同時出發，速度相同

∴AP=BQ

在△ABE和△CBD中，

∴△ABQ≌△CAP

（2）∠CMQ=60°不變 ，理由如下：

∵△ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴ ∠CMQ=∠ACO+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

（3）設時間為t，則AP=BQ=t，則BP=4-t

①當∠PQB=90°時，∠BPQ=30°

∴ BP=2BQ

∴ 4-t=2t

解得 t=

②當∠BPQ=90°時，∠PQB=30°

∴ BQ=2BP

∴ t=2(4-t)

解得 t=

∴綜上，當第秒或第時，△PBQ為直角三角形.

（4）∠CMQ=120°不變，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC, ∠ACB=∠ABC=60°

∴∠ACQ=∠CBP=120°

在△ACQ和△CBP中，

∴△ACQ≌△CBP

∴∠QAC=∠PCB

∴ ∠CMQ=∠QAC+∠ACM=∠PCB+∠ACM=180°-∠ACB=120°