Question

【題目】如圖，是直徑，于點，連接交于點，過點作的切線交于點，連接交于點

（1）求證：

（2）連接并延長，交于點，填空：

①當的度數為_________時，四邊形為菱形；

②當的度數為__________時，四邊形為正方形；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①30°；②22.5°

【解析】

(1)連接OC，利用切線的性質得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余證明∠1=∠2，然后根據等腰三角形的判定定理得到結論；
(2)①當∠D=30°時，∠DAO=60°，證明△CEF和△FEG都為等邊三角形，從而得到EF=FG=GE=CE=CF，則可判斷四邊形ECFG為菱形；
②當∠D=22.5°時，∠DAO=67.5"，利用三角形內角和計算出∠COE=45°，利用對稱得∠EOG=45°，則∠COG=90°，接著證明△OEC≌△OEG得到∠OGE=∠OCE=90°，從而證明四邊形ECOG為矩形，然后進一步證明四邊形ECOG為正方形.

（1）證明：連接，如圖：

∵是切線，

∴，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）①當∠D=30°吋,∠DAO=60°，
而AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF為等邊三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用對稱得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG為等邊三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四辺形ECFG為菱形；

故答案為：30°；
②當∠D= 22.5 °時，∠DAO= 67.5°，

而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用對稱得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE=∠OCE=90° ，
∴.四邊形ECOG為矩形，
而OC=OG，
∴四邊形ECOG為正方形，
故答案為：22.5°.