Question

【題目】問題發現

小明在學習魯教版八年級上冊97頁例4時,受到啟發進行如下數學實驗操作:

如圖1,取一個銳角為45°的三角尺,把銳角頂點放在正方形ABCD的頂點D處，將三角尺繞點D旋轉一個角度,使三角尺的直角邊與斜邊分別交邊AB,BC于點E和點F,連接FE,在繞點D旋轉過程中,發現線段AE,EF,CF滿足EF=AE+CF的數量關系,但是不會進行證明,數學張老師給他如下的提示:把△ADE繞點D逆時針旋轉90°至△DCE’的位置,小明畫旋轉后的圖形,利用全等的知識證明了出來.你根據上面的提示畫出旋轉后的圖形,并將上面的結論進行證明.

問題探究

小明的探究引發了老師的興趣,老師將三角尺繞點D旋轉到如圖2的位置,三角尺的直角邊與斜邊分別交邊AB,BC的延長線于點E和點F,老師問題小明此時AE,EF,CF滿足什么數量關系,小明思考后說出了正確的結論.請同學們直接寫出正確結論(不用寫出證明過程).

拓展延伸

張老師讓小明利用上面探究積累的學習經驗,解答下面的問題:

如圖3已知正方形ABCD,點E在邊AB上,點F在邊BC上,且∠EDF=45°,若CD=6,AE=2,求CF的長.

Answer 1

【答案】問題發現：證明見解析；問題探究:AE=CF+EF；拓展延伸:CF的長為:3

【解析】

問題發現

把△ADE繞點逆時針旋轉90°至的位置，可得，由題意可證,可得. 由則可得EF=AE+CF;

問題探究

在AB上截取AM=CF,由題意可證△ADM≌△CDF,可得DM=DF,∠ADM=∠CDF,即可得∠EDF=∠MDE=45°，則可證△MDE≌△FDE,可得EF=EM,則可得AE=EF+CF

拓展延伸

在Rt△BEF中， 根據勾股定理可求CF的長.

解：問題發現：

把△ADE繞點D逆時針旋轉90°至 的位置

∴

∴

在正方形ABCD中

∴

∴

∵∠EDF=45°

∴∠1+∠2=45°

∴∠3+∠2=45°

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

問題探究:

如圖2:在AB上截取AM=CF,

∵∠A=∠DCF=90°，AM=CF,AD=CD
∴△ADM≌△CDF
∴DM=DF,∠ADM=∠FDC,

∵∠ADM+∠MDC=90°
∴∠CDF+∠MDC=90°，即∠MDF=90°
∵∠EDF=45°
∴∠EDF=∠MDE=45°，且MD=DF, DE=DE
∴△MDE≌△FDE

∴EF=ME
∵AE=AM+ME
∴AE=CF+EF

拓展延伸:

在正方形ABCD中AB=BC=CD=6, ∠EBF=90°

∵AE=2
∴BE=4

設CF=x，則BC=6-x，由（1）可知EF=AE+CF=2+x

在Rt△EBF中：

∴

∴x=3

∴CF的長為:3