Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，∠BAC＝∠DAC，過點C做直線EF⊥AD，交AD的延長線于點E，連接BC．

（1）求證：EF是⊙O的切線．

（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）π

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到結論；

（2）根據圓周角定理求得∠ACB＝90°，然后利用含30°直角三角形的性質求得AB＝2BC＝4，然后用弧長公式即可得到結論．

解：（1）連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴AD∥OC，

∵∠AEC＝90°，

∴∠OCF＝∠AEC＝90°，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CAO＝30°，BC＝2，

∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，

∴OB＝AB＝2，

∴的長為：＝．