Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P為△ABC內一個動點，∠PAB=∠PBC，則CP的最小值為 ．

Answer 1

【答案】 ﹣1
【解析】解：如圖所示：
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA=45°．
∴∠APB=135°．
∴點P在以AB為弦的⊙O上．
∵∠APB=135°，
∴∠AOB=90°．
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∴∠CAO=90°．
∴四邊形ACBO為矩形．
∵OA=OB，
∴四邊形AOBC為正方形．
∴OA=OB=1．
∴OP=1，OC= ．
當點O、P、C在一條直線上時，PC有最小值，
∴PC的最小值=OC﹣OP= ﹣1．
所以答案是： ﹣1．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．