Question

【題目】（1）操作發現：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在線段BC上（不與點B重合），連接AD，將線段AD繞A點逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，如圖①所示，請直接寫出線段CE和BD的位置關系和數量關系．

（2）猜想論證：

在（1）的條件下，當D在線段BC的延長線上時，請你在圖②中畫出圖形并判斷（1）中的結論是否成立，并證明你的判斷．

（3）拓展延伸：

如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動，試探究：當銳角∠ACB等于　 　度時，線段CE和BD之間的位置關系仍成立（點C、E重合除外）？此時若作DF⊥AD交線段CE于點F，且當AC=3時，請直接寫出線段CF的長的最大值是　　．

Answer 1

【答案】（1）CE=BD，CE⊥BD，理由詳見解析；（2）（1）中的結論仍然成立，理由詳見解析；（3）當銳角∠ACB=45°時，CE⊥BD．理由詳見解析；②45， .

【解析】

（1）只要證明△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
（2）結論不變．證明的方法與（1）一樣．
（3）①當銳角∠ACB=45°時，CE⊥BD．過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根據旋轉的性質得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，則NE=MA，由于∠ACB=45°，則AM=MC，所以MC=NE，易得四邊形MCEN為矩形，得到∠DCF=90°，
②由Rt△AMD∽Rt△DCF，得由此構建二次函數，再利用二次函數即可求得CF的最大值．

（1）CE=BD，CE⊥BD；

理由：如圖①中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴線段CE，BD之間的位置關系和數量關系為：CE=BD，CE⊥BD；

（2）結論：（1）中的結論仍然成立．理由如下：

如圖②中，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關系和數量關系為：CE=BD，CE⊥BD；

（3）①結論：當銳角∠ACB=45°時，CE⊥BD．理由如下：

如圖③中，過A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠NAE=∠ADM，

易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵∠ACB=45°，

∴△AMC為等腰直角三角形，

∴AM=MC，

∴MC=NE，

∵AM⊥BC，EN⊥AM，

∴NE∥MC，

∴四邊形MCEN為平行四邊形，

∵∠AMC=90°，

∴四邊形MCEN為矩形，

∴∠DCF=90°，

∴EC⊥BD．

②∵Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴

設DC=x，

∵∠ACB=45°，AC=

∴AM=CM=3，MD=3﹣x，

∴

∴

∵

∴當x=1.5時，CF有最大值，最大值為

故答案為：45，；